Nøgler som funktioner

Dette forløb forudsætter kendskab til monoalfabetiske kryptosystemer. Et eksempel på krypteringsnøglen i et monoalfabetisk kryptosystem er vist nedenfor.

Når man ser nøglen opstillet som vist ovenfor, så kommer man måske til at tænke på et "sildeben" for en funktion. Erstatter man bogstaverne med tal (fx bogstavets plads i alfabetet), så bliver ligheden endnu større. Og det er faktisk en rigtig god måde at forstå krypteringsnøglen på.

Man kan tænke på nøglen som en funktion K, der kan anvendes på enhver klartekst T. En sædvanlig funktion f kan på tilsvarende måde anvendes på alle tal x i definitionsmængden. Resultatet skrives f(x). På samme måde bruges skrivemåden K(T) til at angive at vi har anvendt nøglen på (klar)teksten T og frembragt kryptoteksten, som altså er K(T). Definitionsmængden for K er alle mulige tekster.

Skal kryptoteksten dekrypteres skal det ske med nøglen til dekryptering, som vi kan kalde D. Den fungerer også som en funktion og når den anvendes på (krypto)teksten K(T), så kommer man tilbage til T. Skrevet kort med funktionssymboler:

D(K(T)) = T.

Matematisk set er K og D hinandens omvendte funktioner, dvs. D ophæver virkningen af K.

Det svarer til opførslen af funktionerne 10^x og log(x), som er hinandens omvendte funktioner. Vælger man et tal x og anvender funktionen 10^x og derefter log(x) kommer man tilbage til det oprindelige tal:

log(10^x) = x.

For disse to funktioner gælder også det omvendte: Hvis man vælger et positivt tal x, så kan man først anvende log og derefter 10^x og komme tilbage til det oprindelige tal:

10^log(x) = x.

Nedenfor skal vi se, at der gælder helt det samme for nøglerne til kryptering og dekryptering.

Opgave 1: Kryptering og dekryptering som hinandens omvendte.

Nedskriv din besvarelse af denne og de efterfølgende opgaver. Svarene skal anvendes i en afsluttende evaluering.

1. Gå til hjemmesiden med monoalfabetiske kryptosystemer og vælg et additivt kryptosystem med en forskydning på 7. Krypteringsnøglen for dette system kaldes K. Kryptér ved at anvende den valgte nøgle teksten: SPION PÅ VEJ og nedskriv resultatet.
2. Dekrypteringsnøglen D hørende til kryptosystemet i a er også additiv. Angiv hvilken forskydning dekrypteringsnøglen har (husk at den skal ophæve virkningen af K).

   Afprøv dit forslag på hjemmesiden med monoalfabetiske kryptosystemer ved at placere den kryptotekst, som du fandt i a, i feltet Klartekst og kontrollere at der i feltet Kryptotekst fremkommer teksten SPION PÅ VEJ.

   Bemærk, at fremgangsmåden er anderledes i forhold til, hvad man normalt gør ved dekryptering, hvilket skyldes, at vi her er interesseret i at undersøge D som en funktion på lige fod med K, dvs. hvad D gør ved vilkårlige tekster.

3. Eftervisning af, at K(D(T)) = T.

   Der anvendes stadigvæk hjemmesiden med monoalfabetiske kryptosystemer. Nu skal det kontrolleres, hvad der sker, når man har en klartekst og så først anvender dekrypteringsnøglen D og derefter krypteringsnøglen K, altså det omvendte af hvad man plejer. Som (klar)teksten T anvendes "FORSTÆRKNING KOMMER OM TI TIMER".

   • Indstil hjemmesiden med dekrypteringsnøglens forskydning (som blev fundet i spørgsmålet b) og anvend nøglen på T. Nedskriv resultatet D(T) (altså hvad der kommer i feltet Kryptotekst).
   • Hjemmesiden indstilles nu med krypteringsnøglens forskydning og i feltet Klartekst anbringes teksten D(T), som du fik før. Kontrollér at resultatet af dette, dvs. indholdet i feltet Kryptotekst er den klartekst T, som vi startede med.

Konklusionen af opgave 1c er, at når man har et kryptosystem, dvs. to nøgler K og D, så er det ligegyldigt hvilken nøgle man anvender til at kryptere en tekst med. Man vil altid kunne dekryptere med den anden nøgle og komme tilbage til den oprindelige klartekst! Der gælder begge formler

D(K(T)) = T og K(D(T)) = T,

hvilket svarer til formlerne ovenfor for 10^x og log(x) og det viser, at D er den omvendte funktion til K og omvendt. Ovenfor har vi kun vist det for et enkelt monoalfabetisk, additivt kryptosystem, men det gælder helt generelt for alle kryptosystemer.

Side 2 »